Alan Bishops seks fundamentale matematikkaktiviteter

Svein Sando (2004)

Boka Det matematiske barnet av Solem og Reikerås omtaler Alan Bishops seks fundamentale matematikkaktiviteter og sier at disse "kan være redskap for oss slik at vi får en bredere og mer nyasert oppfatning av hva matematikk er og kan være for oss og for barn" (Solem & Reikerås s.11). Jeg vil se litt nærmere på det Alan J. Bishop skriver i boka Mathematical Enculturation, A Cultural Perspective on Mathematical Education fra 1991, samt gjøre meg noen tanker om hvordan dette synes på matematikk kan åpne for en rekke tverrfaglige møter i førskolelærerutdannelsen.

Tittelen røper at Bishops perspektiv er tverrkulturelt, dvs. han ser på både hvordan matematikk framstår blant mennesker, og hvordan dette skjer på tvers av ulike kulturer. Nettopp fordi de er tverrkulturelle kan de også kalles universelle eller fundamentale. Slik er dette ingen fagbok i matematikk, men en fagbok om hvordan mennesker bruker og tilegner seg matematikk. Bishop var, da han skrev boka, tilknyttet Department of Education ved universitetet i Cambridge, UK. Han er nå professor og Deputy Director av "Centre for science maths and technology education" ved Monash University, Australia.

Matematikk som kulturprodukt

Forut for Bishop, hadde Gay og Cole publisert en bok i 1967 (The New Mathematics and an Old Culture) der man avdekket at Kpelle-folket i Liberia hadde store problemer med å tilegne seg det man kan kalle vestlig matematikk, særlig det som da ble oppfattet som ny matematikk. Studien avdekket også hvorfor det var slik. Årsaken lå i kulturen eller i dagliglivet som blant annet sjelden hadde behov for å telle lenger opp enn til 40, der aritmetisk aktivitet alltid var knyttet til konkrete situasjoner, der Kpelle-språket kun hadde navn for geometriske former som var i vanlig bruk, som hadde en målesystem som alltid var spesifikt for det man målte, og som bare kunne uttrykke ekvivalens på en komplisert og indirekte måte (Bishop s.20).

Arbeidet til Gay og Cole ble en inspirasjonskilde til andre som foretok lignende studier blant en rekke såkalte primitive folkeslag. Et av de mange fascinerende funn som ble gjort, var at man på Papua New Guinea fant over 500 ulike tellemåter (counting systems). Det som lettest springer en i øynene med slike sammenlignende undersøkelser, er alle forskjellene. Bishop er imidlertid mer opptatt av likhetene, og det er det han vil undersøke.

Didaktiske konsekvenser av folkeslagenes matematiske mangfold

Før vi ser nærmere på disse likhetene, er det også viktig å stoppe opp ved det disse undersøkelsene viser oss, nemlig at matematikk faktisk er et kulturelt produkt, frambrakt av kulturens behov for å løse forskjellige oppgaver eller problemstillinger som man har funnet relevante eller interessante. For en (meg) som så langt har oppfattet matematikk som nærmest noe hevet over det menneskelige, noe som tilhører en egen sfære og har sin egenlovmessig som nærmest tilfeldig kan ha praktisk nytte i det konkrete livet, har dette vært en viktig korrigering.

Dette er også viktig med tanke på vurdering av barns matematiske utvikling. Er matematikk først og fremst et kulturprodukt, er det også mye vanskeligere å dele ut merkelappen "galt" eller "rett". Vi må tro at barn utvikler den matematikken som barnets hverdag krever. Det kan ikke være viktig å pådytte barnet en bestemt måte foreta en divisjon på, dersom barnet har funnet en måte som fungerer for barnet. Dette må samtidig ikke være til hinder for at barnet på et gitt skoletrinn kan bli seg forelagt alternative og kanskje raskere måter å foreta divisjonen på.

Hva er matematikk redskap for?

Bishop snur altså hele spørsmålsstillingen til antropologene på hodet og spør etter hva disse kulturforskjellene likevel frambringer av likheter:

So what is interesting to me here about cultural studies like these is what they tell us about the similarities between cultural groups, in terms of mathematical activities and ideas. They tell us something about of the cultural phenomenon called mathematics, and they enable us to understand more about the roots of mathematical thinking. (Bishop s. 21)

Bishop er derfor mer opptatt av hva kpelle-folket kan, enn hva de ikke kan, mer opptatt av å se etter likheter mellom "oss" og "dem", for dermed å se hvilke aktiviteter som er allmenne. Det tok mange år før antropologene kom til en slags enighet om at alle folkegrupper kommuniserer og at de derfor utvikler språk, noen som er skriftliggjort og andre ikke. Skriftlige språk kan ses på som mer utviklet, men samtidig handler dette også om det finnes et kulturelt behov for dette. Bishop ønsker å trekke lignende paralleller inn i matematikken: "Do all cultures develop mathematics?" (Bishop s.22) og vil lete etter aktiviteter og prosesser som kan føre til utvikling av matematikk. Er det med andre ord en lignende parallell i matematikken som det er mellom kommunikasjon og språk? På samme måte som behovet for 'kommunikasjon' førte til 'språk', så er spørsmålet om det finnes andre type behov som fører til 'matematikk'. På samme måte som språk er et redskap for å kommunisere, så kan matematikk tenkes å være et redskap for noe. Hva er så dette 'noe' som matematikk er redskap for?

Seks aktiviteter

Når Bishop foreslår seks mulige aktiviteter (activities) som må vurderes som å være dette 'noe' som matematikk er redskap for, så sier han at antallet er lite viktig. Det som er viktig, er hvordan disse setter ord på og definerer saken. Bishop grupperer de seks aktivitetene i tre grupper som hver har to beslektede men likevel klart atskilte aktiviteter. Nedenfor siterer jeg Bishops beskrivelse av disse tre gruppene fullstendig, og gjengir inneholdet så på norsk med mine ord og kommenterer de:

The two most obvious candidates were counting and measuring. Both are concerned with ideas relating to number but which are rather different kinds of ideas. The discrete aspect of counting is its very significant feature and contrasts markedly with the continuity of the phenomena onto which one imposes measure systems. It is not just the concept that is different; the whole societal context for developing these two sets of ideas seems significantly different and therefore worth separating. (Bishop s.22-23)

De to første aktivitetene han nevner er telling (counting) og måling (measuring). De er begge relatert til tall men på en ganske ulik måte, både som begrep og sosialt. Telling er å tilordne fundamentalt atskilte heltall til det man teller, mens måling handler om å beskrive en størrelse ved hjelp av et tallsystem som kan ivareta det som nettopp ikke er atskilt i heltall, men som tilhører et sammenhengende hele. I vår matematiske kultur er dette skillet tydelig ved at vi benytter heltall ved telling og desimaltall ved måling. At vi noen ganger ender opp med å bruke et heltall som et tall på en størrelse, handler egentlig om tilnærming og avrunding. Sosialt er det også forskjell på å telle opp et visst antall av flere objekter som har visse likhetstrekk, enn å angi en størrelse på noe på ett objekt. Så selv om både telling og måling handler å bruke tall, så er disse to aktivitetene eller prosessene klart atskilte.

Spatial structuring has also been highly significant in developing mathematical ideas, and again I have chosen to separate out two very different types of structuring which give rise to different kinds of geometrical ideas. I call these activities locating, where the emphasis is on the topographical and cartographical features of the environment, and designing, which concerns the conceptualisations of objects and artefacts, and which leads to the fundamental idea of 'shape'. (Bishop s.23)

Culture, though, doesn't just link us to our physical environment, as White reminds us, and therefore we need to define some activities which are more concerned with relating us to each other - linking us as individuals with our social environment. The two which I shall argue are mathematically very important for that purpose are playing and explaining. Playing is concerned with social procedures and rules of performance, and also stimulates the "as if" feature of imagined and hypothetical behaviour. Explaining is the final activity to be described and is there to point to the various cognitive aspects of enquiring into, and of conceptualising, the environment and of sharing those conceptualisations. (Bishop s.23)

Bishop foreslår aktivitetene lek/spill og forklaring som matematiske aktiviteter. Det kan virke overraskende at dette regnes som matematiske aktiviteter. Han sier her at han skal argumentere mer for dette lenger fram i boka, så vi får vente og se. Men legg merke til utgangsproblemstillingen hans: Hvilke behov trenger matematikk som redskap? Disse aktivitetene er altså i og for se ikke eksklusivt matematiske, men de trenger matematikk som redskap. Altså er ikke lek nødvendigvis i seg selv matematikk i eksklusiv forstand, men man trenger matematikk for å leke osv. Bishop sier at mens telling, måling, lokalisering og form har med våre fysiske omgivelser å gjøre, så har lek og forklaring med våre sosiale omgivelser. Nå utføres lek i et fysisk rom og forklaringer vil ofte være forklaringer om noe konkret, fysisk noe, men likevel er dette fenomener når vi omtaler det som lek og forklaring på et høyere nivå hvor kan inngå de fire første aktivitetene.

La oss se på hva Bishop skiver nærmere om de enkelte aktivitetene:

Telling (Counting)

Telling er den aktiviteten som er mest studert når det gjelder ulike kulturer. Oppsiktsvekkende er det at man på Papua Ny Guinea mener å kunne dokumentere over 500 forskjellige tellesystemer. Den generelle tendensen synes å være at tellesystemet er utviklet i forhold til de sosiale og kulturelle behov samfunnet har. Kineserne utviklet tidlig et system for å takle store tall, noe som hang sammen med kulturens størrelse og behovet for å administrere en stor befolkning osv. I motsatt ende hadde inuittene ikke behov for å takle store tall, der de som jegere i isødet sjelden forholdt seg til store antall av noe. I motsetning til engelsk, som skjelner mellom entall og flertall, skjelner de australske anindilyakawene mellom entall, totall, tretall og flertall. (Bishop s.23-25) Var det noen som snakket om at de europeiske kultur var mer utviklet enn de såkalte urfolkene her og der?

Det at tellesystemene følger kulturens behov, er helt i tråd med en teori om teknologiutvikling framsatt av Bruno Latour. Han hevder at utvikling av teknologi skjer ved en forhandling mellom hva kulturen krever og hva naturen gjør mulig. Han avviser dermed det som kalles teknologisk determinisme, dvs. den tanke at teknologien har en ustoppelig utvikling styrt av teknologien selv, upåvirket av samfunnet. Et tellesystem er også en teknologi, slik også språket er. Dermed utvikles i tellesystem i det sosiale rom, i kulturen ut fra dens behov, vil også Latour kunne si.

I Kpellekulturen er det ikke lov til å telle hva som helst, skriver Bishop og bygger på et arbeid gjort av C. Zaslavsky (Bishop s.27). Blant annet er det ikke bra å telle høns og andre husdyr høyt, for de tror at dermed vil ulykke ramme dem. Dette skal være et utbredt fenomen i Afrika. Derimot er det lov å telle dem indirekte. Man kan bruke småsteiner eller pinner som representerer det man skal telle, og så kan man telle representantene. Hvis man tror at slike talltabuer tilhører kun såkalte primitivt kulturer, kan man jo gjøre seg noen refleksjoner over hvorfor det er så mange vestlige flyselskaper der du på flyene ikke finner rad 13. I det hele tatt er det knyttet mystikk og fascinasjon til til og telling i en rekke kulturer, og slikt knyttes gjerne til astrologi, religion, forutsigelser og tro (Bishop s.27).

Lokalisering (Locating)

Bishop behandler aktivitetene i en litt annen rekkefølge enn da han presenterte de først. Lokalisering behandler han før måling fordi han mer at lokalisering er en mer nødvendig aktivitet, for det å kunne orientere seg i rommet, enten det er for å kunne navigere en båt eller bli kjent i nærområdet rundt hjemmet, regner han som en mer grunnleggende aktivitet enn å kunne måle. Uansett mener han at det å kunne orientere seg i rommet er en universell aktivitet som finnes i alle kulturer.

Samtidig som dette er universelt, er det også lokale forhold som bestemmer hvordan matematikken rundt dette løses. I dette tilfellet er den språklige siden av matematikk viktig. Hva slags begreper har en kultur utviklet for å beskrive det som har med sted å gjøre? Et eksempel henter Bishop fra Papua Ny Guinea (igjen). For folk som bor i høylandet der, som er veldig kupperte, har de utviklet en rekke begreper for ulike grader av helning på landskapet, mens det å beskrive noe horisontal, straks blir veldig komplisert. (Bishop s.28)

Aborginerne i Australia lever i et landskap uten særpreg, sett med våre øyne. Til tross for dette har den kulturen utviklet et så intimt forhold til landskapet, at de ikke har noe begrep for å ”gå seg bort”. Det virker som de nærmeste har et internalisert kompass i hodet. En antropolog (Lewis) beskrev det slik at det aborginerne kjente til nord, syd, øst og vest lenge før de kom i kontakt med den hvite manns kompass. (Bishop s.30).

Kart er nedskalerte modeller av landskapsmiljøet, men kart kan utformes veldig forskjellig ut fra de ulike sosiale og kulturelle behov. (Bishop s.33) Bare innenfor vår egen kultur finner vi at kart over bussruter kan være stilisert på en måte der kontakten med de konkrete landskapsstrukturer kan være temmelig avstreifet, i motsetning til et orienteringskart der svært mange detaljer i landskapet blir avtegnet med et sett med veldefinerte symboler. Men nettopp må det brukes symboler for å representere noe konkret i landskapet. Symbolenes utforming står det for så vidt fritt å utforme, men det er selvfølgelig lettere å forstå et symbol som har en viss visuell likhet med det som skal symboliseres. At man bruker blå farge på hav og sjø, er selvfølgelig valgt fordi vi oftest oppfatter hav og sjø i naturen som blå. Men at veier markeres med rødt på mange kart, er et valg muligens ut fra sedvane, for det finnes ingen ting rødt ved hovedveiene som skulle tilsi et slikt valg. Det er en vanlig aktivitet i det minste på de første trinnene på barnskolen, kanskje i barnehagen også, at barna skal tegne skoleveien, eller nærområdet rundt hjemmet slik man gjør på kart. Det er da interessant å legge merke til om barna selv bruker symboler for å angi noe, og i tilfelle hvordan disse symbolene velges.

Bishop sier dette om forholdet mellom vår teknologiske kultur, og andre (eldre) kulturer:

Those of us living in highly technologically-oriented societies can so easily forget the basic human needs of satisfying the coexistence of mind, body, soul and environment. We have much to learn from the different perspectives of other cultures. (Bishop s.33)

Det pussige er altså at i samfunn der teknologi, og dermed også matematikk som et redskap for å utvikle høyteknologi, er langt utviklet, der har også matematikken blitt plassert i en fagbås som fjerner den i folks omdømme fra å være en del av de redskapene vi trenger for å tilfredstille samspillet knyttet til tanke, kropp, sjel og omgivelser (mind, body, soul and environment) – kort sagt hele oss. Dette mener Bishop er mer på plass i eldre typer kulturer, og får jeg tilføye, kanskje er de lettere å finne i vår kultur hos barn enn hos såkalt kultiverte voksne? Dette avspeiles når man ser på barnehage i forhold til skolen. Mens man i skolen møter enkeltfagene, blant annet matematikk, så er den fagoppdelingen ikke til stede i barnehagen. Der får barna ennå lov til å møte virkeligheten som hele barn.

Måling (Measuring)

Dette handler om å sammenligne, ordne og kvantifisere (tallfeste) verdier som har verdi og viktighet. Dette finnes i alle kulturer, men nok en gang viser det seg at dette gjøres forskjellig og har forskjellig vekt i de ulike kulturer. (Bishop s. 34)

Menneskekroppen synes å ha vært det første måleredskap i alle kulturer. Selv kjenner vi til måleenheter som tomme(l) og fot, håndfull, favn, og alen (nederarmen), men at disse også tilhører fortidens målesystemer fortrengt av standardenheten meter som ikke er mål for noe naturlig noe, men som opprinnelig var bestemt av en konkret standardmeter som befant seg i et hvelv i Paris.

Bishop nevner et eksempel på hvordan de lokale forhold i Papua Ny Guinea hadde utviklet et praktisk helt brukbart system for å sammenligne hager, men som ut fra en universell, dvs. ikke-lokal vurdering var feil. For å regne ut størrelsen på en rektangulær hage, la de bare sammen lengde og bredde, mens det universelt matematisk korrekte jo er å multiplisere de to. Men fordi hagene så godt som alltid var av samme form, dvs hadde samme forholdstall mellom lengde og bredde, gav den lokale utregningsmåten et helt tilstrekkelig grunnlag for å kunne sammenligne størrelsen, og addisjon er som kjent enklere å utføre enn multiplikasjon. (Bishop s.35)

Det er ikke noe problem for øyet å sammenligne og holde rede på forskjellen på 2-3 objekter. Men straks antallet blir større, oppstår behovet for å ordne eller sortere objektene for å kunne sammenligne de. Dermed oppsto ordene for rekkefølge, ordenstallene (først, andre, tredje, fjerde osv.) og ord for hva slags kvalitet rekkefølgen bestod i (tyngst, lengst, eldst osv.). (Bishop s.36)

Måleenhetene er også i før-moderne kulturer knyttet mye tettere til det som skal måles, enn i vår vestlige kultur i dag. Vi finner spor av dette hos også, blant annet i matoppskrifter: kopp, teskje, knivsodd. I USA selger de ennå bensin i gallon. Og har vi vært på bærtur, så omtaler vi ennå mengden som så og så mange spann med molter. Og er størrelsen på spannene vi bruker det samme, og vi bruker de samme spannene år etter år, så gir dette et godt nok mål for hvor mye molter vi fant i år i forhold til i fjor osv. På samme måte er det med verdienheter. Vi har standardenheten kroner, men vi skal ikke gå så langt utenfor vår kultur, før vi finner at medgiften måles i antall kyr osv. Det at vi har norske kroner i Norge, svenske kroner i Sverige og dollar i USA, er også en rest etter et eldre lokalt pengesystem. Innføringen av Euro er således et skritt i retning av universalisering av pengeenheten også.

Generelt kan vi si at eldre målesystemer ikke nødvendigvis er mer upresise enn vestlig-moderne, for de er gjerne tilpasset et lokalt behov, for de er utviklet det og fungerer helt ok for sitt formål. Men for noen som er utenfor den kulturen som bruker dette, virker systemet ofte upresist og ”primitivt”. Disse systemene er imidlertid umiddelbare og krever lite teknisk utstyr og slik sett er de på en måte mer demokratiske. Derfor vil barn mye lettere forstå og selv utvikle slike umiddelbare målesystemer, enn å forstå og tilegne våre voksne målesystemer. En forståelse for hvordan ikke-vestlig-moderne samfunn har innrettet seg med disse matematiske grunnaktivitetene, vil være nyttig for å forstå hvordan barn kan forholde seg til matematikk. Å pådytte barn for tidlig et standardisert og universelt matematikk, vil være å hoppe over et viktig og nødvendig utviklingstrinn for at barnet skal få en ekte forståelse og internalisert praksis i en matematikk som er tilstrekkelig for deres utviklingstrinn.

Når så er sagt, har jeg behov for å avgrense meg fra en mulig misforståelse av mer moralsk art som kan ligge i forlengelsen av dette, nemlig at jeg dermed lett kan plasseres i den båsen at jeg ser på vår vestlige kultur som mer høyerestående og bedre enn eldre kulturer, og at de nettopp da i mine øyne framstår som mer primitive, for på samme måte som barnet gjennomgår en utvikling fra barn til voksen, så kan det se ut som jeg sier at kulturene gjennomgår en utvikling fra primitiv til avansert. Utvikling betyr her endring i teknisk forstand og ikke i moralsk eller verdimessig forstand. Vår kultur har for eksempel funnet det nødvendig å utvikle en universell måte å angi størrelser på og har innført meteren som standardenheten som all lengdemål skal måles i. Dette innebærer på samme tid en forenkling og man gjør det mer komplisert. Det er forenklet ved at man trenger bare kjenne én måleenhet og vite hvor lang den er for å skaffe seg et indre mål av lengdeenheten. Dermed er den også universell ved at alle jeg kommuniserer med har den samme referansen for lengdemål. Samtidig er dette mer komplisert, for alt er ikke like egnet for å måles i meter. Avstanden rundt jorda ved ekvator er for eksempel 40 000 000 meter som er et så stort og abstrakt tall at vi ikke har noen som helst intuitiv forståelse av hvor stor den er. Hvis vi skulle brukt en eldre måte å omtale en slik lengde på, men med ord fra vår kultur, så ville vi kunne si at avstanden er to døgns flytid (ved marsjfart 833 km/t). Standardisering av målenheter har oppstått som følge av globalisering, dvs at nye praktiske utfordringer har ført til nye løsninger på disse praktiske utfordringene. Vi som har glemt hva en favn og en alen er, har på sett og vis tapt noe i forhold til eldre generasjoner. Slik sett er vi ikke ”bedre”, men vi er annerledes. På den annen side skal vi ikke se bort fra at utvikling ofte også er en endring mot mer tidseffektive metoder. Man endrer seg fra noe kjent til noe ukjent, men hvis det ikke er noe fordeler med det ukjente man beveger seg i mot, vil det være bortkastet å legge bort det kjente som fungerte. På samme måten kan små barn multiplisere ganske store tall uten å ha lært noe som helst om gangetabeller og lignende, men de gjør det ved ulike måter å summere på. Dette fungerer, men det tar ofte lengre tid enn å lære seg en multiplikasjonsteknikk. Men barnet som kan multiplisere ved å summere, er ikke på et lavere nivå rent verdimessig, enn et eldre barn som har lært seg den lille multiplikasjonstabellen og kan bruke den. Det som fungerer godt nok for et viss alderstrinn, eller godt nok for en bestemt kultur, må bedømmes ut fra eget alderstrinn og egen kultur og de behov alderen og kulturen setter. Endrer alderen seg og endrer behovene seg, så vil man tilpasse seg de endrede forhold og utvikle en teknikk (vidt forstått) som møter de endrede omgivelsene på en best mulig måte. Moralsk galt blir det imidlertid når vi alltid betrakter eget ståsted, aldermessig eller kulturelt, som det verdimessig beste.

Design

Dette handler om å bearbeide et stykke natur (tre, leire, metall) og gjøre det til noe annet, enten det er av rent estetiske grunner (tradisjonelt kunstverk) eller også av praktiske grunner (hus, våpen, redskap, spill, religiøst behov osv.). Man kan også omforme naturen mer i stort, som ved å anlegge hager, veier, ja hele byer. Hensikten er å påføre arbeidsstykket en bestemt form som skal møte et bestemt behov, det være seg praktisk eller estetisk. Gjerne vil man påføre naturen en bestemt abstrakt form som den ikke har på forhånd (kuleform, rektangel, rettlinjet osv.). Man har en plan, en abstraksjon, som man vil gjennomføre på naturen. (Bishop s.39). (Ut fra hva jeg har sagt tidligere om Latours teknologiforståelse, vil dette da også være teknologi.)

Alle kulturer oppviser design, men ikke uventet gjøres dette veldig forskjellig ut fra lokale behov og rammevilkår. Tilgangen på materialer å bearbeide vil i stor grad styre hvordan de lokale behov kan møtes ved hjelp av å ulik konstruksjon. Samme råstoffet kan brukes til både å lage nyttegjenstander (utilitarian) og prydgjenstander (ornamental) (Bishop s.40). Til tross for store lokale forskjelle og behov, er det noe universelt over hvordan man bygger hus (normalt rektangulære eller runde) eller utformer spiseredskaper (hul skje).

Former finnes i naturen, men her er vi opptatt av de former som mennesker bevisst påfører naturen. Da har vi abstrahert noe, hatt en idé bak som er mer enn å avbilde slavisk noe i naturen. Det gjør fotografiet, men ikke designeren. Se på gamle hulemalerier. Her har kunstneren utelatt visse trekk ved dyret som er avbildet, og framhevet andre, dvs. det ligger en idé bak, en design, en mental mal (mental template) (Bishop s.40).

Design er en aktivitet barn starter med ganske tidlig. De første skriblerier på papir eller plassering av byggeklosser oppå hverandre, eller byggverk i sandkassa hører med i denne kategorien, selv om man kanskje kan diskutere hvor mye det ligger en bevisst mal bak, skjønt hva vet om det egentlig? Uansett er design, eller konstruksjon om vi vil, en aktivitet som tydeligvis engasjerer de fleste barn, og mange voksne også. Hvorfor mange voksne legger dette bort, kan man undres over, mens altså noen få utvikler dette til det ypperste som bildende kunstnere eller ingeniører.

Det matematiske aspektet ved design er først og fremst geometrien der de ulike ideelle former beskrives og kan begrenes. Dette er det felles grunnlag både den bildende kunster og byggingeniøren har, men de utnytter dette ganske så forskjellig. For i forlengelsen av geometri ligger konstruksjonen som også bygger på fysikkens lære om gjenstandenes egenskaper. En brokonstruksjon er blitt til i samspill mellom materialkunnskap og geometri, og kan også sies å være vakker på sin måte, i hvert fall finnes det formfullende broer, så kunstneren kan også være til stede. Arkitekten kombinerer ofte kunstneren og ingeniøren.

Geometriske former spiller også en rolle innenfor religion og symbolske forståelse og tolkning av virkeligheten. Dette innebærer et stort område, så stort at vi nesten kan si at matematikk i kulturene er først og fremst forbundet med å tenke og late som og å forestille seg (imagination, Bishop s.42), og først dernest med konstruksjon. I det hel er ’late som’-aspektet svært viktig og fremtredende i matematikk. Slik sett er matematikk først og fremst en mental aktivitet, men den kan også få praktiske anvendelser eller den kan brukes som en måte å analysere den foreliggende konkrete verden på.

Lek (Playing)

”Lek og spill kan synes å være noe pussig å ha med i en beskrivelse av aktiviteter som er relevante for å utvikle matematiske ideer, inntil man ser hvor mange spill som har matematiske forbindelser.” (s.42) Spill er dessuten både svært utbredt, og det finnes mange beskrivelser av spill i kulturen, noe som viser hvor viktig spill og lek er for utviklingen av en kultur.

Det spilles og lekes i alle kulturer, og alle kulturer tar dette veldig alvorlig – samtidig som det bare er et spill. Dette er på en måte en selvmotsigelse, og samtidig er det kanskje nettopp derfor spill og lek er så viktig, for alle aldersgrupper. Her kan man prøve ut forskjellige strategier og tåle å tape, uten at det egentlig påvirker vårt liv utenfor spillverdenen. Bishop følger Nordbecks tolkning av Huizinga og hans klassiske verk fra 1939 om lek: Homo Ludens, når han beskriver (s.43) spillets vesen slik (min oversettelse)

• Frivillig
• Ikke et oppdrag, ikke ordinært, ikke virkelig
• I sitt vesen useriøst med tanke på hensikten, men ofte seriøst utført.
• Utenfor de konkrete basalbehovene, men likevel en integrert del av livet og slik sett likevel en nødvendighet.
• Gjentagende
• Tett knyttet til skjønnhet på mange måter, men ikke identisk med det.
• Skaper orden og er orden; har regler, rytme og harmoni.
• Ofte relatert til vidd/klokskap og humor, men er ikke synonymt med dette
• Har elementer av spenning, usikkerhet og sjansetaking
• På siden av antitesene visdom – dårskap, sannhet og falskhet, godt og ondt, dyd og last, og har ingen moralsk funksjon

Spill og lek er slik sett en sosial aktivitet som er annerledes det meste annet. Deltagerne blir spillere og kan delta bare dersom de godtar å følge spillets regler og legge bort ”normale” regler. Slik sett opphever man tradisjonell moral, for nå gjelder bare spillets egne normer.

Bishop lurer på om dette er roten til hypotetisk tenkning, som er viktig innenfor matematikken. Er lek et første skritt til å distansere seg selv fra (den fysiske) virkeligheten for å kunne reflektere og kanskje tenke seg hvordan man kan endre virkeligheten? (s.43) Han mener å finne bekreftelse på dette hos Vygotsky som sier at leken er viktig for barns utvikling på den måten at ”action and meaning can become separated and abstract thinking can thereby begin” (s.43). Matematikk i lek er altså den hypotetiske tenkningen som muliggjøres ved at man kan stilles seg på siden av virkeligheten og modellere eller tenke seg alternativer til den. En hypotese er jo nettopp en gjetning som så prøver å få sjekket om er korrekt (verifisert), men før verifikasjonen har skjedd, må man kanskje prøve en mengde gjetninger før man treffer tilstrekkelig godt.

Lek (play) omfatter mer enn spill (games). Bishop tenker seg å på samme måte som

• telling, må ha ført til utvikling av tallord, tallforståelse og tallsystemer,
• lokalisering, må ha ført til utvikling av rombegreper, bilder og koordinatsystemer,
• måling, må ha ført til størrelsesord, måleenheter og målesystemer,
• designing, må ha ført til bilder, former og geometriske ideer,
• så har lek ført til spill som formalisert lek.

Den formaliserte leken, spillet, er bundet opp av regler som må følges. Uten det bryter spillet sammen. Det som skal spille spill må uttalt eller stilltiende underkaste seg spillet regler, ellers setter man seg utenfor spillet, man jukser. Ingen vil spille med den som ikke følger reglene. Å bruke matematikk handler også å følge visse regler som ligger der på forhånd. Reglene er i både spill og matematikk er selve kjernen i aktiviteten. Bishop lurer på om dette klare fokus på å følge regler er en av årsakene til at spill brukes av både barn og voksne, for nettopp å ha et forutsigbart sted der man vet hvilke regler den andre følger, i motsetning til det virkelige livet der en slik enighet om å følge reglene i beste fall er pådyttet og følges motvillig og ikke frivillig som i et spill. (Bishop s.45)

Forklaring (Explaining)

Her løftes den menneskelig aktiviteten utover det å kun observere og erfare omgivelsene. Her spør ikke bare etter hvor mange? (telle), hvor stor? (måle), hvor? (lokalisering), hvordan? (form), hvorledes? (lek), men man spør etter hvorfor?. Han siterer Bateson som sier at forklaring er “the pattern that connects” (Bishop s.48).

Sammenligning og dermed klassifisering er grunnleggende her. I vestlig kultur klassifiserer vi gjerne gjennom et hierarkisk tre. Andre kulturer har i stedet klassifisert ved pardannelse: himmel og jord, sol og måne, natt og dag og lignende. Klassifiseringsmåten synes å være særlig robust overfor kulturpåvirkning. Man kan lettere ta inn andre typer kulturuttrykk, men ordningen av slike skjer ved hjelp av eksisterende klassifiseringsmønster. Kanskje kan man snakke om at klassifiseringsmåten hører med til en kulturs grunnparadigmer.

Klassifisering er bar en av forklaringsmåtene vi rår over. En annen, som ikke minst er svært utbredt, er fortellingen.

En tredje forklaringsmåte er språkets evne til å uttrykke logiske slutninger. Her er indo-europeiske språk særlig rikt utstyrt, men man finner dette i andre språk også, med ulik grad av evne til å uttrykke logiske forhold på en presis måte, i noen tilfeller bedre enn Indoeuropeiske språk. For eksempel vil ordet ”eller” på både norsk og engelsk (or) omfatte både et ”enten eller” og et ”både og”, mens kpelle-språket har to distinkte ord for dette allerede, og trenger ikke bruker flere ord som vi altså må.

Bishop har på side 52 også en tabell over den han kaller logisk-grammatiske emner (logical-grammatical items). Listen påstås ikke å være uttømmende. Her følger et forsøk på oversettelse til norsk:

Sammenlenking og logiske rekkefølger av ideer (linking av logical sequence of ideas)

og, også, dessuten, videre, samtidig, således, også, i tillegg til, bortsett fra

Parafrase og utvidelse (paraphrase and appostition)

som, likesom, som om, på samme måte som

Årsakssammenheng (causality)

i følge, som, fordi, med konsekvensen, derfor, hvorfor, siden, inntil, når, så ofte som, så lenge som, som et resultat av, ved hjelp av, som følge av, med den hensikt, for å, dermed følger at, grunnet i; nødvendig og tilstrekkelig betingelse

Opposisjon eller kontrast (oppostition or contrast)

alternativt, selv om, men, hvis, imidlertid, ikke desto mindre, på den andre siden, enda, til tross for, uten hensyn til; nødvendige men ikke tilstekkelige betingelser.

Restriksjoner (restriction)

unntatt, umulig, tilfeldigvis, bare, usikkert, hvis ikke, bare hvis, hvis og bare hvis, bare hvis

Hypoteser (hypothesis)

konkludere, bekrefte, betrakte, utlede, tenke seg, gjøre ugyldig, benekte, anta, teoretisk, bekrefte, i prinsippet, det følger, det ser ut som om

Undersøkelser (enquiry)

hvor stor? hvor lang? hvor mange? ... osv.; hva? når? hvilken? hvem? hvorfor? hvordan? med hvilken hensikt? for å oppnå hva? i hvilken utstrekning?

Forklaringen vil i mange kulturer og epoker knytte seg til ulike autoriteter. Vi har vitenskap som en autoritet som nettopp hyller logikk og etterprøvbarhet som sannhetsvitne, men for muslimske fundamentalister, vil Koranen vøre den ytterste kilde til sannhet, og dermed til forklaringsgrunn. Her vil mattematikken selv forankres i guddommen:

As Raham (1981) explains: "The source of mathematical studies, as of other siciences, in Islam is the concept of Tawhid - Oneness of God. God is One; hence the number one in thje series of numbers is the most direct and most intelligible symbol of the Source. And the series of num,bers themselves is a ladder by which man ascends from the world of multiplicity to the One" (p.79) (Bishop s.53>

For egen del vil jeg tilføye at i vår egen kultur startet den naturvitenskapelig æra i senmiddelalderen/renessansen blant annet som grunnlag av en tro på at Gud var ordens gud, dvs at skaperverket var ordnet og logisk oppbygget, og at Gud innbød til at menneskene kunne utforske det, og derimot også finne spor av Gud selv (se for eksempel Hegge (1978:64ff)). Dermed sikret troen på en gudommelig allmakt at virkeligheten var logisk og fornuftig, og dermed at man kan argumentere og trekke logiske slutninger som sier noe sannt om virkeligheten, såfremt premissene i argumentet selv er sanne.

Fra det allmenne til det spesielle

Bishop kaller sitt sluttkapittel i denne hoveddelen av boka si for ”From ’universals’ to ’particulars’” (s.55). Dette henger sammen med det som er hovedformålet hans, nemlig å prøve å belegge hypotesen at disse seks aktivitetene er universelle, dvs. gjeldende for alle, til alle tider alle steder, dernest den hypotesen at disse seks aktivitetene er betydningsfulle for utviklingen av de matematiske sidene ved kulturen. Bishop moderer begrepet ’universals’ noe, for han sier at det godt kan tenkes at det finnes en eller annen marginal kultur som ikke vil oppvise alle disse aktivitetene. Han endrer derfor begrepet til ’culturo-centric universals’ og mener med det ”universals from our culturo-centric position, since we are describing the phenomena as ’counting’ etc.” (s.55). Han sier dermed bevisst at han står i en kultur og må være seg den bakgrunnen bevisst, slik at det er fra vår vinkling at disse aktivitetene synes å være allmenne (universelle). Det har ingen ting med å opphøye egen kultur som noe bedre enn andre, men det har med å si at man er påvirket av ens egen kultur og at man har nettopp slike referansebriller på.

Med dette forbehold for begrepet ’universelt’, trekker Bishop en følge av sin hypotese:

… mathematics is a pan-cultural phenomenon. (s.55)

Bishop kaller matematikk for ’symbolic technology’, altså en teknologi som bruker symboler. Og denne teknologien den utvikler seg, og den er lokal i utgangspunktet. Derfor passer det godt, mener han, at på engelsk heter det ’mathematics’. Altså et flertallsord. Det er ulike matematikker, ut fra hva slags kulturer de springer ut fra og er i. Men er ikke 2 +2 = 4 i alle kulturer? Jo, men samtidig viser alle undersøkelser at det er ulike tellemåter, ulike målesystemer, ulike forklaringsmåter osv. Selv om noe er likt og felles, så er det også store variasjoner i måten man anvender matematikken på. Og dermed er vi inne på den spenningen det ligger i det universelle med matematikken og det lokale og kulturbestemte. I dette spenningsfeltet befinner matematikken seg, og den endrer seg.

Så langt Bishop. La oss til slutt se hva dette betyr for faget matematikk i førskolelærerutdanningen.

De seks aktivitetene er ofte tverrfaglige

Ved å utvide hva matematikk er i forhold til en mer tradisjonell forståelse der matematikk omtrent er identisk med regning og kanskje litt geometri, får vi plutselig et fag som omhandler områder av det menneskelig som for det første gjelder alle mennesker, og som inntrer som aktivitet på ulike felt tidlig i barndommen. Det å forholde seg matematisk til virkelighet og omverdenen, er minst like fundamentalt som å snakke. Men på samme måte som det muntlige ordet av kulturelle årsaker også har utviklet seg til å få en skriftlig representasjonsform, et symbolspråk, har matematikken det også. Dette grunnleggende aspektet ved matematikk er blir klart for skolen, da man nå snakker om GLSM – grunnleggende lese-, skrive- og matematikkferdigheter.

Ved å se på de seks aktivitetene, ser man også at matematikk kan møte de fleste andre fagene i førskolelærerutdannelsen på områder man har felles.

Norskfaget møtes både i aktiviteten ”Lokalisering” og ”Forklaring”. I ”Lokalisering” vil fellesnevneren være plasseringsordene som forteller hvor en gjenstand er i rommet. Solem og Reikerås vier dette aspektet et helt kapittel (kap.3, s.45-68): ”Bakom døra, under bordet og høyt oppe i lufta”. Plasseringsoredne er ofte preposisjoner (etter, gjennom, bak, i, mellom, over, foran, under, på, ved) men også adverb og adjektiver (nær, først, sist, innerst, venstre, høyre). I ”Forklaring” legges det vekt på logiske slutninger, og de må formuleres språklig. Argumentasjon og diskurs er derfor både et emne for morsmålsundervisningen og matematikken.

Formingsfaget møter matematikken først og fremst i ”Design” der former og formgivning fokuseres. Sett fra matematikkens ståsted kan det virke som om matematikken beskriver og kartlegger egenskapene til de grunnleggende geometriske formene. Denne innsikten kan så anvendes av formigiveren eller kunstneren på den ene siden, men også av ingeniøren og konstruktøren på den andre.

Dramafaget møter matematikken særlig i ”Lek” og spill der ”as if”-aspektet er viktig. Matematikkens modellbygging krever fantasi og evnen til å ”late som om” for å se om dette eller hint er en vei å gå for å løse et matematisk problem. På en måte er matematikk en måte å prøve ut ting i u-virkeligheten på før man eventuelt anvender den i virkeligheten. Ingeniørenes modeller for hvordan ting kan la seg realisere teknologisk, gjøres i vesentlig grad ved hjelp av matematiske modeller. ”Lokalisering” vil også være et fellesområde i den forstand at drama i særlig grad utnytter rommet og dens egenskaper. Og romforståelsen er altså dypest sett en matematisk innsikt.

Naturfaget har et naturlig møtepunkt i en rekke av aktivitetene. Særlig fysikken, men også kjemi og biologi har lang tradisjon for å anvende matematikk i sine teorier og beskrivelser. Selv om matematikk egentlig ikke er et naturvitenskapelig fag (det bedriver egentlig ikke erfaringsvitenskap), hører det med i den gruppen vi kaller realfagene. Tradisjonelt er derfor møtepunktene mellom matematikk og naturfagene mange.

Fysisk fostring handler også om bevege seg i det 3-dimensjonale rommet. Ved å være fysisk aktive gjør ungene seg erfaringer om rommets beskaffenhet som senere kan formuleres i et geometrisk språk.

Referanser

Bishop, A. J. (1991). Mathematical Enculturatio. A Cultural Perspective on Mathematical Education. Dortrecht / Boston / London: Kluwer Academic Publishers.

Hegge, H. (1978). Mennesket og naturen. Oslo: Universitetsforlaget.

Latour, B. (1988): The Prince for Machines as Well as for Machinations. I B. Elliot (red.) Technology and Social Process. Edinburgh: Edinburgh University Press.

Menninger, K. (1969). Number Words and Number Symbols – A Cultural History of Numbers. Cambridge MA: MIT Press.

Solem, I. H. og Reikerås, E. K. L. (2001). Det matematiske barnet. Bergen: Caspar Forlag.

Zaslavsky, C. (1973). Africa Counts. Boston, MA: Prindle, Weber and Schmidt, Inc.

Etterskrift

En kortere og noe endret versjon av denne teksten er publisert i Tangenten nr. 4/2017 s. 38-45

Denne artikkelen er vist 10995 ganger